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第14章 ln7与ln10：自然对数的奥秘与计算(2/3)

： 例如，ln7的连分数展开需要迭代计算系数，虽复杂但能提供高精度结果。

现代计算机常用此方法，但手工计算较为繁琐。

数值逼近与计算器/软件计算 实际应用中，常用数学工具（如Excel、计算器）直接计算ln7和ln10。

例如，在Excel中输入“=LN(7)”可得ln7≈1.，而“=LN(10)”则输出ln10≈2.。

这些工具内部通常采用高效数值算法（如牛顿迭代法）实现高精度计算。

三、ln7与ln10的应用：跨越学科的桥梁物理学中的指数衰减与增长 放射性衰变、弹簧振动阻尼等物理现象常用指数函数描述。

例如，某放射性物质半衰期为T，则剩余质量随时间t的关系为（λ为衰变常数）。

若需计算衰变至特定质量的时间，则需涉及自然对数求解。

生物学中的种群增长模型 细菌繁殖、种群动态研究常用Logistic模型：（K为环境容纳量，r为增长率）。

模型中自然对数用于刻画种群从初始状态到饱和状态的过渡过程。

金融领域的复利计算： 连续复利公式中，自然对数用于计算投资回报时间。

例如，若年利率r等于百分之5，本金P投资t年后翻倍，则需解方程，即。

信息论中的熵计算 信息熵公式中，ln用于量化信息的不确定性。

例如，二进制系统中，事件概率p=0.5时，，即1比特的信息量。

四、ln7与ln10的特殊性质：数学规律的缩影ln7的微妙关系 ln7的数值1.看似普通，实则蕴含数学规律。

例如，的关系可延伸至幂运算：，即，体现了ln的乘法法则。

ln10与对数换底公式 ln10在数学运算中具有重要意义，尤其在对数换底公式中：。

例如，将常用对数lo

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