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第6章 ln3与ln9：自然对数的数学之旅(2/3)

逐渐崭露头角。

真正奠定自然对数基础的是欧拉。

他在18世纪系统研究了指数函数与对数的互逆关系，证明了的导数仍为，并建立了与的严格对应关系。

这一发现使得自然对数成为分析学中不可或缺的工具，其符号“ln”也由欧拉于1748年正式确立。

此外，牛顿、莱布尼茨等大师在微积分发展中亦频繁使用自然对数，推动了数学分析的深刻变革。

四、数学特性与运算法则的深层解析： 自然对数的运算特性远超简单数值计算。

例如，其导数在微积分中极为重要，为求解复杂积分提供了路径。

在复数领域，lnz（其中）可表示为，揭示了复数对数的多值性（因θ存在无穷多个值）。

这一特性在信号处理、量子力学中具有重要意义。

不等式方面，自然对数满足诸多独特性质。

例如，当时，，这源于其函数图像与直线的几何关系。

此类不等式为证明数学命题提供了有力工具，如推导斯特林公式时便需调用自然对数的不等式性质。

五、跨学科应用：从Excel到机器学习Excel中的自然对数计算： 在数据处理中，Excel的LN函数可便捷计算自然对数。

例如，输入即可获得ln3的近似值。

值得注意的是，LN函数与EXP函数互为逆运算，这一特性在财务建模、数据分析中尤为关键。

物理学中的指数增长与衰减： 放射性元素的半衰期公式中，λ为衰变常数，通过取对数可转化为线性关系：，从而简化实验数据分析。

同样，电路中的RC充电模型亦依赖自然对数描述电压随时间的变化。

统计学与机器学习中的对数变换。

在数据非正态分布时，对数变换（如ln(x)）可使其接近正态分布，满足统计假设。

例如，GDP增长率、股票收益等数据常通过自然对数处理，便于线性

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